Функциональное уравнение, периодичность. Функция f удовлетворяет уравнению Доказать периодичность и найти период.

Для доказательства периодичности функции f и нахождения периода, необходимо найти такое положительное число T, что для любого x выполняется равенство f(x+T) = f(x).

По определению периодичности функции, если f(x+T) = f(x) для любого x, то функция f является периодической с периодом T.

Для доказательства периодичности и нахождения периода, можно использовать следующий алгоритм:

1. Подставить в уравнение f(x+T) = f(x) значение x = 0 и получить f(T) = f(0).
2. Подставить в уравнение f(x+T) = f(x) значение x = T и получить f(2T) = f(T).
3. Продолжить подставлять значения x = 2T, 3T, 4T, и так далее, и получить последовательность равенств f(3T) = f(2T), f(4T) = f(3T), и так далее.
4. Если последовательность равенств продолжается бесконечно, то функция f является периодической с периодом T. Если последовательность равенств прекращается на некотором шаге, то функция f не является периодической.

Таким образом, для доказательства периодичности и нахождения периода функции f необходимо выполнить указанный алгоритм и проверить, продолжается ли последовательность равенств бесконечно или прекращается на некотором шаге. Если последовательность продолжается бесконечно, то периодом функции f будет являться значение T, на котором равенство f(x+T) = f(x) выполняется.