Заголовок: "Как найти значение смешанной производной функции в заданной точке"

Для нахождения значения смешанной производной функции z=ln(2x^2+4y^2) в точке M(2;2), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдем частную производную функции по переменной x: ∂z/∂x = (1/(2x^2+4y^2)) * (4x) = 4x/(2x^2+4y^2)
2. Найдем частную производную функции по переменной y: ∂z/∂y = (1/(2x^2+4y^2)) * (8y) = 8y/(2x^2+4y^2)
3. Теперь найдем значение смешанной производной: ∂^2z/∂x∂y = (∂/∂x)(∂z/∂y) = (∂/∂x)(8y/(2x^2+4y^2)) = (8(2x)(2x^2+4y^2) - 8y(4x))/(2x^2+4y^2)^2 ∂^2z/∂x∂y = (32x^3 + 64xy^2 - 32xy)/(2x^2+4y^2)^2 ∂^2z/∂x∂y = (32x^3 + 64xy^2 - 32xy)/(4(x^2+y^2)^2)
4. Подставим координаты точки M(2;2) в полученное выражение: ∂^2z/∂x∂y = (322^3 + 6422^2 - 3222)/(4(2^2+2^2)^2) ∂^2z/∂x∂y = (256 + 256 - 128)/(4*16) ∂^2z/∂x∂y = 384/64 ∂^2z/∂x∂y = 6

Таким образом, значение смешанной производной функции z=ln(2x^2+4y^2) в точке M(2;2) равно 6.